Exemple de diagonalisation simultanée

La classe entière de problèmes de valeurs propres généralisées à symétrie symétrique traite du cas où $M $ est défini positivement et contient de nombreuses méthodes numériques conçues pour exploiter quelque peu la structure de $K $ et $M $. Il existe une grande variété de solveurs de valeurs propres généralisées. Notez que vous pourriez remplacer $M ^ {1/2} $ partout avec le facteur Cholesky de $M $. Une façon de garder tout symétrique est de multiplier $Kx = omega ^ 2 M x $ à travers avec $M ^ {-1/2} $: $ $ M ^ {-1/2} K x = omega ^ 2 M ^ {1/2} x, $ $ et effectuez la modification de la variable $ tilde{x} = M ^ {1/2} x $: $ $ tilde{K} tilde{x} = omega ^ 2 tilde{x}. Donc oui, le problème de valeur propre apparemment non symétrique $M ^ {-1} K x = omega ^ 2 x $ donnerait les mêmes solutions que le problème de valeur propre généralisée $Kx = omega ^ 2 M x $. Ce n`est pas parce que $M $ est positif défini que la transformation du problème est une bonne idée. Certains procèdent de manière itérative et n`ont pas besoin de calculer $M ^ {-1} $, $M ^ {1/2} $ ou $M ^ {-1/2} $ pour résoudre le problème — ils ne requièrent que des produits avec $M $ et $K $. Compte tenu de la nature de votre problème particulier, on peut être plus apte que d`autres, mais il est difficile de dire sans plus d`informations. Tout d`abord, bien qu`il puisse apparaître comme si $M ^ {-1} K $ n`est pas nécessairement diagonalisable car il n`est pas symétrique, il est diagonalisable car il est similaire à une matrice symétrique. Pour voir cela, Notez que parce que $M $ est positif défini, il a une racine carrée positive définie $M ^ {1/2} $ et $ $ M ^ {-1} K = M ^ {-1/2} (M ^ {-1/2} K M ^ {-1/2}) M ^ {1/2} = M ^ {-1/2} tilde{K} M ^ {1/2}, $ $ i. D`autres effectuent des factorisations de certaines matrices..